まいど！諭吉です。
23年8月20日、
航学の試験まで1ヶ月を切って、
どんどん質問が増えてます！
そんななか、
航学テキストご購入者様からこんなご質問をいただきました。
いただいたご質問
諭吉さん、
夜分遅くに失礼いたします。
＊＊です。
2020年の航空学生数学の記述大問3の(2)の相加平均と相乗平均の問題があるのですが、なにをどのように証明すればいいのかまったく分かりません。（問題を添付致しました）お手数お掛けしますが、相加平均と相乗平均の基本から説明していただけると幸いです。宜しくお願いします。
てことで！
記述式数学で書きたくない日本語ランキングNo.01の
「相加・相乗平均の大小関係」
を解説していくで！w
「相加・相乗平均の大小関係より」
って長い文章を略さず(これでもギリギリまで略してるけどw)に書かないとアカンから書きたくないねん。w
6つのQ&Aでわかる相加相乗平均の大小関係
Q1.なにそれ？
A1.相加平均ってやつと相乗平均ってやつは、必ず
相加平均 ≧ 相乗平均
が成り立つねん。
それを「相加・相乗平均の大小関係」と言うで。
Q2.相加平均て？
A2.
\( \frac{a+b}{2} \)
みたいな、「足して2で割る平均」のことやで。
「相(あい)、加える平均」の名の通りや。
Q3.じゃあ相乗平均は？
A3.
\( \sqrt{ab} \)
みたいな、「かけてルートをとる平均」のことやで。
「相(あい)、乗じる平均」の名の通りや。
Q4.なんか問題集の解説と微妙に形違うくね？
A4.正式には、
\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)
って書くんやけど、
問題で使うときは、分母を払った
\( a+b \geq 2\sqrt{ab}\)
の形を使うことが多いで。
Q5.いつ使うの？
A5.この使いどきに気づくのは
①不等式の証明or最小値の算出
かつ
②かけたら消えそうな分数がいるとき
やで。
①でリーチ、②でビンゴって感じやな。
例えば、
\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \)の最小値を求めよ
とかは、
分数をかけてみると
\( \frac{a}{b}\times \frac{b}{a} =1\)
で消えるから、ビンゴ！って感じ。
Q6.注意点は？
A6.
2つ。
①相(あい)、加えるやつら（すなわち相(あい)、乗じるやつら）が正の時しか使えない
②「等号成立条件」を忘れんな！
相(あい)、加えるやつら（すなわち相(あい)、乗じるやつら）が等しい時に等号成立！
※「等号成立」とは、「≧の＝部分が成り立つ」こと。
当たり前やけど、
等号成立条件が成り立たないと等号成立しないからね。
注意せなアカンで。
この辺はあとで詳しく説明する。
基礎知識は以上！
いざ実戦！解ける人の脳内実況(総火演風w)
習うより慣れろ、さっそくやってみよ。
まずはさっきの
\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \)の最小値を求めよ
を解いてみよう。
STEP1: 気づく
お！
最小値問題！
なんか分数おる！
ダルみ！
とりま分数かけてみるか！
\( \frac{a}{b}\times \frac{b}{a} =1\)
で消えるやん！
ビンゴ！
STEP2: 注意する(前半)
正条件 注〜意！
仮定より\(a>0,\ b>0\)！
\( \frac{a}{b}>0,\ \frac{b}{a}>0 \)！
正よし！
発射！
自衛隊キッズサイトより
STEP3: 使う
相加・相乗平均の大小関係より
\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}}\)
すなわち
\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2\)
が成り立つ！
最小値は2！
弾着5秒前！
STEP4: 注意点(後半)
(等号成立は、
\( \frac{a}{b}=\frac{b}{a} \)
やな。\( \times ab \)して分母払って、
\( a^2=b^2 \)
移項して、
\( a^2-b^2=0 \)
因数分解して
\( (a+b)(a-b)=0 \)
よって
\( a=\pm b \)
のときか。
でも\( a>0,\ b>0\)より、\( a=- b \)やと正負がねじれるからこれはないな。
じゃあ
\( a=b \)
のときやな。。。)
等号成立条件、確認！
「等号成立は\( \frac{a}{b}=\frac{b}{a}>0 \)すなわち、\(a=b\)のとき」！
弾ちゃ〜く、、、今っ！！
…とまぁこんな感じ。w
楽しいな。ww
ラスト、航学の過去問はどう解く？
ここまで読んだあなたは、冒頭の航学の問題もきっと解けるはずや。
ヒント出すから、この記事見ながらやってみて！
ヒント1：カッコを展開する
ヒント2：その後定数を右に移項する(＝両辺から定数引く)
ヒント3：発射！w