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総火演で相加・相乗平均の大小関係w【航学過去問】

諭吉の数学航空学生対策防衛大学校対策Q&A貸費学生防衛医大(看護)対策防衛医大(医)対策諭吉の講義モチベアップ

 

まいど!諭吉です。

23年8月20日、
航学の試験まで1ヶ月を切って、
どんどん質問が増えてます!

そんななか、
航学テキストご購入者様からこんなご質問をいただきました。

 

いただいたご質問

諭吉さん、
夜分遅くに失礼いたします。
**です。

 

2020年の航空学生数学の記述
大問3の(2)の相加平均と相乗平均の問題があるのですが、なにをどのように証明すればいいのかまったく分かりません。
(問題を添付致しました)
お手数お掛けしますが、相加平均と相乗平均の基本から説明していただけると幸いです。
宜しくお願いします。
諭吉注:問題は著作権に配慮して非公開

てことで!

記述式数学で書きたくない日本語ランキングNo.01

「相加・相乗平均の大小関係」

を解説していくで!w

これはいきなり使ったらアカンくて、
「相加・相乗平均の大小関係より」
って長い文章を略さず(これでもギリギリまで略してるけどw)に書かないとアカンから書きたくないねん。w

 

 

6つのQ&Aでわかる相加相乗平均の大小関係

Q1.なにそれ?

A1.相加平均ってやつと相乗平均ってやつは、必ず

相加平均 ≧ 相乗平均

が成り立つねん。

それを「相加・相乗平均の大小関係」と言うで。

 

Q2.相加平均て?

A2.

\( \frac{a+b}{2} \)

みたいな、「足して2で割る平均」のことやで。

「相(あい)、加える平均」の名の通りや。

 

Q3.じゃあ相乗平均は?

A3.

\( \sqrt{ab} \)

みたいな、「かけてルートをとる平均」のことやで。

「相(あい)、乗じる平均」の名の通りや。

 

Q4.なんか問題集の解説と微妙に形違うくね?

A4.正式には、

\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)

って書くんやけど、
問題で使うときは、分母を払った

\( a+b \geq 2\sqrt{ab}\)

の形を使うことが多いで。

 

Q5.いつ使うの?

A5.この使いどきに気づくのは

 

①不等式の証明or最小値の算出

かつ

②かけたら消えそうな分数がいるとき

やで。

 

①でリーチ、②でビンゴって感じやな。

 

例えば、

\(a>0,b>0\)のとき、
\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \)の最小値を求めよ

とかは、
分数をかけてみると

\( \frac{a}{b}\times \frac{b}{a} =1\)

で消えるから、ビンゴ!って感じ。

 

Q6.注意点は?

A6.

2つ。

①相(あい)、加えるやつら(すなわち相(あい)、乗じるやつら)がの時しか使えない

 

②「等号成立条件」を忘れんな!

相(あい)、加えるやつら(すなわち相(あい)、乗じるやつら)が等しい時に等号成立!

※「等号成立」とは、「≧の=部分が成り立つ」こと。

 

当たり前やけど、
等号成立条件が成り立たないと等号成立しないからね。

注意せなアカンで。

 

この辺はあとで詳しく説明する。

 

基礎知識は以上!

 

いざ実戦!解ける人の脳内実況(総火演風w)

習うより慣れろ、さっそくやってみよ。

まずはさっきの

\(a>0,b>0\)のとき、
\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \)の最小値を求めよ

を解いてみよう。

 

STEP1: 気づく

お!

最小値問題!

なんか分数おる!

ダルみ!

とりま分数かけてみるか!

\( \frac{a}{b}\times \frac{b}{a} =1\)

で消えるやん!

ビンゴ!

 

STEP2: 注意する(前半)

正条件 注〜意!

仮定より\(a>0,\ b>0\)!

\( \frac{a}{b}>0,\ \frac{b}{a}>0 \)!

正よし!

発射!

自衛隊キッズサイトより

 

STEP3: 使う

相加・相乗平均の大小関係より

\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}  \geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}}\)

すなわち

\( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}  \geq 2\)

が成り立つ!

最小値は2!

 

弾着5秒前!

 

STEP4: 注意点(後半)

(等号成立は、

\( \frac{a}{b}=\frac{b}{a} \)

やな。\( \times ab \)して分母払って、

\( a^2=b^2 \)

移項して、

\( a^2-b^2=0 \)

因数分解して

\( (a+b)(a-b)=0 \)

よって

\( a=\pm b \)

のときか。

でも\( a>0,\ b>0\)より、\( a=- b \)やと正負がねじれるからこれはないな。

じゃあ

\( a=b \)

のときやな。。。)

 

等号成立条件、確認!

「等号成立は\( \frac{a}{b}=\frac{b}{a}>0 \)すなわち、\(a=b\)のとき」

 

 

弾ちゃ〜く、、、今っ!!

 

 

 

 

…とまぁこんな感じ。w

楽しいな。ww

 

 

ラスト、航学の過去問はどう解く?

ここまで読んだあなたは、冒頭の航学の問題もきっと解けるはずや。

ヒント出すから、この記事見ながらやってみて!

 

ヒント1:カッコを展開する

ヒント2:その後定数を右に移項する(=両辺から定数引く)

ヒント3:発射!w